Математика
Логарифми на НМТ з математики: властивості, приклади і типові помилки
Опубліковано . 5 хв читання.
Логарифм logₐb — це показник степеня, до якого треба піднести a, щоб отримати b, де a > 0, a ≠ 1, b > 0. На НМТ логарифми трапляються в обчисленнях, рівняннях і нерівностях, а бали найчастіше втрачають через забуту область допустимих значень і неправильний знак нерівності при основі від 0 до 1.
Властивості, які треба знати напам'ять
- logₐ1 = 0 і logₐa = 1
- a^(logₐb) = b
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy
- logₐ(x/y) = logₐx − logₐy
- logₐ(xⁿ) = n·logₐx
- Перехід до нової основи: logₐb = log_c b / log_c a
- logₐb = 1 / log_b a
Приклад 1: просте рівняння
log₂(x − 1) = 3. За означенням x − 1 = 2³ = 8, тож x = 9. Перевірка ОДЗ: x − 1 > 0, 8 > 0 — підходить.
Пастка: відповідь «8» — це значення x − 1, а не x.
Приклад 2: сума логарифмів і сторонній корінь
log₃x + log₃(x − 8) = 2. ОДЗ: x > 8. Об'єднуємо: log₃(x(x − 8)) = 2, тобто x² − 8x = 9, x² − 8x − 9 = 0, звідки x = 9 або x = −1.
x = −1 не входить в ОДЗ, тому відповідь одна: x = 9.
Приклад 3: нерівність з основою меншою за 1
log₁/₂ x > 1. Основа 1/2 менша за 1, тому функція спадна і знак нерівності змінюється: x < (1/2)¹ = 1/2. Разом з ОДЗ x > 0 відповідь: 0 < x < 1/2.
Помилки, на яких губляться бали
- log(x + y) ≠ log x + log y — властивість працює для добутку, а не для суми.
- Забута ОДЗ: аргумент логарифма має бути додатним, інакше з'являються сторонні корені.
- При основі 0 < a < 1 знак нерівності змінюється на протилежний.
- Плутанина logₐb і log_b a — це обернені числа, а не одне й те саме.